- Ringkasan Materi Polinomial -

Suatu polynomial, atau dapat juga disebut suku banyak, berderajat n dalam variabel x adalah fungsi dari x yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut.       P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + …. + a n-1 x + a n ; a 0 ≠ 0 dinama n bilangan cacah, a 0 , a 1 , a 2 , …,  a n-1 koefisien, a n­ konstanta, serta a 0 ≠ 0 1.   Jika P(x) = 0, maka kita memperoleh suatu persamaan polynomial berderajat n:       a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + …. + a n-1 x n + a n = 0 ; a 0 ≠ 0 …(1) 2.   Setelah kedua ruas dibagi dengan a 0 ≠ 0, maka persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk p :       x n + p 1 x n-1 + p 2 x n-2 + …. + p n-1 x + p n = 0 3.   Pengertian dari polynomial atau suku banyak berderajat n dalam variabel x adalah suatu bentuk :       a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + …. + a n-1 x + a n ; a 0 ≠ 0       atau       x n + p 1 x n-1 + p 2 x n-2 + …. + p n-1 x + p n             Dalam suatu suku banyak , a 0 , a 1 , a 2 , …,  a n-1 disebu

Jika P(x) =  2x 3 – x 2 – 2x + 1 dan Q(x) = {(2x-1)x - 2} x + 1, maka tunjukkanlah bahwa P(x) = Q(x). Q(x) = {(2x-1)x - 2} x + 1 Q(x) = {(2x-1) x 2  - 2} x + 1 Q(x) =  2x 3  – x 2  – 2x + 1 = P(x) Hal ini menunjukkan bahwa polinom atau suku banyak  2x 3  – x 2  – 2x + 1 dapat ditulis dalam bentuk  {(2x-1)x - 2} x + 1. Dengan demikian, maka P(2) = Q(2).   P(2) = 2(2) 3 – (2) 2 – 2(2) + 1                ⇔ Q(2) = {(2.2 – 1)2 – 2}2 + 1 P(2) = 2 . 8 – 4 – 4 + 1                         ⇔ Q(2) = {6 – 2}2 + 1 P(2) = 9                                                ⇔ Q(2) = 9             Apabila kita menghitung nilai polynomial tersebut untuk P(3) , maka bentuk yang lebih praktis dan sistematis adalah P(x) =  {(2x-1)x - 2} x + 1 P(3) =  {(2.3-1)3 - 2} 3 + 1 = 40

Kita dapat melakukan pembagian polinomial dengan dua cara, cara yang pertama adalah membagi dengan cara yang hampir sama dengan pembagian suatu bilangan. Misalnya,  3x 3  – 7x 2  – 11x + 4    dibagi oleh (x - 4)  Jadi,   3x 3 – 7x 2 – 11x + 4 = (x – 4) (3x 2 + 5x + 9) +4 Kemudian dengan menggunakan proses pembagian simetris atau cara Horner . Apabila kita perhatikan dengan seksama skema tersebut, maka dapat dijelaskan bahwa: 1. Sisa pembagiannya adalah P(4), yang dalam hal ini adalah 40 2. Koefisien baris ketiga sebelum P(4) merupakan hasil bagi, dalam hal ini adalah  Contoh Soal :

P(x) = D(x) . H(x) + S Untuk D(x) = x - k, maka atau P(x) = (x - k) . H(x) + S Berdasarkan Persamaan diatas, kita dapat menyebutkan sebuah teorema untuk sisa pembagian suku banyak. Teorema Sisa Jika suku banyak P(x) dibagi x - k , maka sisanya adalah P(k). Bukti :  Gunakan persamaan P(x) = (x-k) . H(x) + S Derajat S lebih rendah dari x - k, oleh sebab itu S merupakan konstanta. Untuk x = k akan diperoleh    P(k) = (k - k) H(k) + S    P(k) = 0 . H(k) + S Jadi, P(k) = S (terbukti) Contoh Soal :

Pembagian suku banyak selama ini hanya memuat pembagi dalam bentuk linear, yaitu ax+b. Selanjutnya, dalam bagian ini akan dibahas pembagian polinomial atau suku banyak dengan pembagi bentuk kuadrat atau bentuk  ­ ax­­ 2 +b+c. Berikut ini diberikan contoh model pembagian suku banyak. Contoh Soal : Bentuk -9x-4 merupakan sisa pembagian, sebab tidak dapat dibagi lagi oleh x 2 -x-2  . Secara umum, jika suku banyak P(x)  dibagi oleh bentuk kuadrat  ­ ax­­ 2 +b+c  , maka sisanya berbentuk linear atau px+q  .           Untuk menentukan sisa pembagian suku banyak tersebut tanpa melakukan pembagian dengan model di atas, maka kita dapat menggunakan teorema sisa yang telah dipelajari sebelumnya, yaitu P(x) = H(x) . D(x) + sisa P(x) = H(x) . ( ax­­ 2 +b+c) +px+ q Untuk soal diatas dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut. Untuk x=2, maka -22 = 0 +2a +b  Untuk x= -1, maka 5 = 0 - a + b Jadi, sisa pembagiannya adalah -9x-4

Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Berikut bunyi dari teorema faktor tersebut ; Misalkan P(x) suatu polynomial, (x−k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0 Pembuktian: Berdasarkan teorema sisa: P(x) = (x – h)H(x) + S dengan S = P(h). Oleh karena P(h) = 0, maka persamaan di atas menjadi:                                                             P(x) = (x – h)H(x) Hubungan ini menunjukkan bahwa (x – h) adalah faktor dari P(x).             Jadi, P(h) = 0 jika dan hanya jika (x – h) merupakan faktor dari P(x). teorema ini sering disebut teorema faktor. Selanjutnya jika diketahui a 1 ,a 2 ,a 3 , … ,  a n   adalah akar -akar dari polynomial P(x) berderajat n maka diperoleh :                                                    P(x) = A(x−a 1 )(x−a 2 )(x−a 3 )···(x−a n ) Contoh Soal: Salah satu faktor dari (2x³ - 5x² - px + 3) adalah (x + 1). Faktor linear yang lain dari suku banyak tersebut adalah ..... Pembahasan: Mis

Bentuk umum persamaan polynomial dengan variabel x   adalah :             a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + … + a 0 = 0, dengan a n ≠ 0 dan n bilangan asli. Sebagaimana persamaan kuadrat, persamaan polynomial berderajat n juga mempunyai akar atau penyelesaian. Persamaan polynomial berderajat n mempunyai akar-akar maksimum sebanyak n buah. Jika x = k merupakan akar persamaan polynomial f(x) = 0 maka f(k) = 0 atau jika f(k) = 0 maka x = k merupakan akar persamaan polynomial f(x) = 0. Dari teorema faktor diperoleh pengertian sebagai berikut:   a.  Jika (x – k) faktor linear polynomial f(x) maka f(k) = 0.   b.  Jika f(k) = 0 maka (x – k) faktor linear polynomial f(x). Dari pernyataan di atas dengan  pengertian  teorema faktor dapat diambil kesimpulan berikut. Misalkan f(x) merupakan suatu polynomial, (x – k) merupakan faktor linear polynomial f(x) jika hanya jika x = k adalah akar dari f(x) = 0.                   *Hubungan akar-akar polynomial dengan koefisi

Kemudian, bandingkan derajat pembilang ruas kanan dengan derajat penyebut ruas kiri pada dua pecahan di atas :         “ Derajat pembilang sekurang-kurangnya satu kurangnya dari derajat penyebut sebelumnya “. - Untuk setiap faktor linear (ax + b) pada penyebut, terdapat satu pecahan dalam bentuk - Untuk setiap faktor linear (ax + b) yang berulang n kali pada penyebut, maka terdapat n     pecahan. Misalnya : - Sifat-sifat di atas berlaku juga untuk setiap fakto kuadrat ax^2+bx+c .  Misalnya : Contoh Soal : Tentukan nilai A dan B dari persamaan di bawah ini! Penyelesaian : Jadi, nilai A = -1 dan B = 2

Noormandiri, B. K.. 2017. Matematika Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam                   Untuk SMA/MA Kelas XI Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2016. Jakarta: Penerbit             Erlangga Aksin, Nur, dan Muklis. 2014. Matematika Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam             untuk SMA/MA Kelas XI Semester 1 Kurikulum 2013. Jakarta: Intan Pariwara. Sukino. 2016. Matematika Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam untuk             SMA/MA Kelas XI Kurikulum 2013 Edisi Revisi 2016. Jakarta: Penerbit             Erlangga.