7. Persamaan Polinomial

-

Bentuk umum persamaan polynomial dengan variabel x  adalah :
            anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a0 = 0, dengan an ≠ 0 dan n bilangan asli.
Sebagaimana persamaan kuadrat, persamaan polynomial berderajat n juga mempunyai akar atau penyelesaian. Persamaan polynomial berderajat n mempunyai akar-akar maksimum sebanyak n buah.
Jika x = k merupakan akar persamaan polynomial f(x) = 0 maka f(k) = 0 atau jika f(k) = 0 maka x = k merupakan akar persamaan polynomial f(x) = 0.

Dari teorema faktor diperoleh pengertian sebagai berikut:
  a. Jika (x – k) faktor linear polynomial f(x) maka f(k) = 0.
  b. Jika f(k) = 0 maka (x – k) faktor linear polynomial f(x).
Dari pernyataan di atas dengan  pengertian  teorema faktor dapat diambil kesimpulan berikut.
Misalkan f(x) merupakan suatu polynomial, (x – k) merupakan faktor linear polynomial f(x) jika hanya jika x = k adalah akar dari f(x) = 0.
                 
*Hubungan akar-akar polynomial dengan koefisien koefisien suku

a). ax2 + bx + c =0
(i) jumlah akar-akarnya: x1 + x2 = -b/a

(ii) hasil kali akar-akarnya: x1x2 = c/a
b). ax3 + bx2 + cx + d = 0
            (i) jumlah akar-akarnya: x1+x2+x3 = - b/a 

(ii) hasil kali akar-akarnya: x1x2x3 = - d/a
c). ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
            (i) jumlah akar-akarnya: x1 +x2+ x3+x4 = - b/a

            (ii) hasil kali akar-akarnya: x1x2x3x4 = e/a
d) ax5 + bx4 +cx3 + dx2 + ex + f = 0
            (i) jumlah akar-akarnya: x1+x2+x3+x4+x5 = - b/a


              (ii) hasil kali akar-akarnya: x1x2x3x4x5 = - f/a

 Contoh Soal: 

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan x3 – 4x2 + x + 6 = 0.

Penyelesaian:
faktor dari 6: ±1, ±2, ±3, ±6
sisa pembagian 0 untuk x = -1









Sehingga bentuk persamaan menjadi
(x + 1)(x2 – 5x + 6) = 0
(x + 1)(x - 2)(x – 3) = 0
Atau x = -1, x = 2, x = 3

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

8. Fungsi Pecahan Sebagian

-
Gambar
Kemudian, bandingkan derajat pembilang ruas kanan dengan derajat penyebut ruas kiri pada dua pecahan di atas :         “ Derajat pembilang sekurang-kurangnya satu kurangnya dari derajat penyebut sebelumnya “. - Untuk setiap faktor linear (ax + b) pada penyebut, terdapat satu pecahan dalam bentuk - Untuk setiap faktor linear (ax + b) yang berulang n kali pada penyebut, maka terdapat n     pecahan. Misalnya : - Sifat-sifat di atas berlaku juga untuk setiap fakto kuadrat ax^2+bx+c .  Misalnya : Contoh Soal : Tentukan nilai A dan B dari persamaan di bawah ini! Penyelesaian : Jadi, nilai A = -1 dan B = 2
Baca selengkapnya

5. Pembagian dengan Bentuk Kuadrat

-
Gambar
Pembagian suku banyak selama ini hanya memuat pembagi dalam bentuk linear, yaitu ax+b. Selanjutnya, dalam bagian ini akan dibahas pembagian polinomial atau suku banyak dengan pembagi bentuk kuadrat atau bentuk  ­ ax­­ 2 +b+c. Berikut ini diberikan contoh model pembagian suku banyak. Contoh Soal : Bentuk -9x-4 merupakan sisa pembagian, sebab tidak dapat dibagi lagi oleh x 2 -x-2  . Secara umum, jika suku banyak P(x)  dibagi oleh bentuk kuadrat  ­ ax­­ 2 +b+c  , maka sisanya berbentuk linear atau px+q  .           Untuk menentukan sisa pembagian suku banyak tersebut tanpa melakukan pembagian dengan model di atas, maka kita dapat menggunakan teorema sisa yang telah dipelajari sebelumnya, yaitu P(x) = H(x) . D(x) + sisa P(x) = H(x) . ( ax­­ 2 +b+c) +px+ q Untuk soal diatas dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut. Untuk x=2, maka -22 = 0 +2a +b  Untuk x= -1, maka 5 = 0 - a + b Jadi, si...
Baca selengkapnya

6. Teorema Faktor

-
Gambar
Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Berikut bunyi dari teorema faktor tersebut ; Misalkan P(x) suatu polynomial, (x−k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0 Pembuktian: Berdasarkan teorema sisa: P(x) = (x – h)H(x) + S dengan S = P(h). Oleh karena P(h) = 0, maka persamaan di atas menjadi:                                                             P(x) = (x – h)H(x) Hubungan ini menunjukkan bahwa (x – h) adalah faktor dari P(x).             Jadi, P(h) = 0 jika dan hanya jika (x – h) merupakan faktor dari P(x). teorema ini sering disebut teorema faktor. Selanjutnya jika diketahui a...
Baca selengkapnya