6. Teorema Faktor

Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Berikut bunyi dari teorema faktor tersebut ;

Misalkan P(x) suatu polynomial, (x−k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0

Pembuktian:

Berdasarkan teorema sisa: P(x) = (x – h)H(x) + S dengan S = P(h). Oleh karena P(h) = 0, maka persamaan di atas menjadi:

                                                            P(x) = (x – h)H(x)

Hubungan ini menunjukkan bahwa (x – h) adalah faktor dari P(x).

            Jadi, P(h) = 0 jika dan hanya jika (x – h) merupakan faktor dari P(x). teorema ini sering disebut teorema faktor.

Selanjutnya jika diketahui a₁,a₂,a₃, … ,  a_n  adalah akar -akar dari polynomial P(x) berderajat n maka diperoleh:

                                                   P(x) = A(x−a₁)(x−a₂)(x−a₃)···(x−a_n)

Contoh Soal:

Salah satu faktor dari (2x³ - 5x² - px + 3) adalah (x + 1). Faktor linear yang lain dari suku banyak tersebut adalah .....
Pembahasan:
Misalkan f(x) = 2x³ - 5x² - px + 3
Karena (x +1) adalah faktor dari f(x), maka f(-1) = 0
f(-1) = 0
2(-1)³ - 5(-1)² - p(-1) + 3 = 0
⇔ -2 - 5 + p + 3 = 0

⇔ -4 + p = 0
⇔ p = 4
Dengan demikian f(x) = 2x³ - 5x² - 4x + 3
Faktor-faktor f(x) yang lain dapat ditentukan dari hasil bagi suku banyak f(x) oleh        (x + 1) dengan menggunakan metode Horner, maka:

Hasil baginya adalah 2x² - 7x + 3 dan dapat difaktorkan menjadi (2x - 1)(x - 3).

Jadi, faktor linear lainnya yaitu (2x – 1) dan (x – 3)